Hogyan játsszunk több játékot egyszerre,
tucatnyi különböző módon?

Hégely Éva

Dr. Waldhauser Tamás

Legyen 𝒥=(P,L,N) egyszerű játék. Az (SuperPlus[M])⊂P halmazt a játék magjának nevezzük, ha

Az (SuperPlus[M])-beli állásokat jó állásoknak nevezzük, így a nyerő stratégia könnyen megadható: Lépj mindig jó állásba!

Definiálunk három P->(Subscript[ℕ, 0]) leképezést:

({{({{mex H:=min((Subscript[ℕ, 0])∖H)}, {legoH:=({{{, ({{min(H⋂{páros számok}),, ha H-nak van páros eleme;}, {maxH, különben.}})}})}, {gelo H:=({{{, ({{max(H⋂{páros számok}),, ha H-nak van páros eleme;}, {min H, különben.}})}})}})}})

Legyenek (Subscript[𝒥, 1]) és (Subscript[𝒥, 2]) egyszerű játékok. A két játékot egyszerre játsszuk a következő szabályok szerint:

A fentiek alapján hat különböző kompozíció létezik:

({{({{(Subscript[G, (Subscript[𝒥, 1])+(Subscript[𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[G, 1]^(+))(p)⊕(Subscript[G, 2]^(+))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[gamma[a,b,r],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[#==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{(Subscript[({{F}}), (Subscript[𝒥, 1])⊕(Subscript[𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[F, 1]^(+))(p)⊕(Subscript[F, 2]^(+))(q).}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[f[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[#==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,3,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[R, (Subscript[𝒥, 1])∧(Subscript[𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[R, 1]^(+))(p)⋀(Subscript[R, 2]^(+))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[kappak[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[S, (Subscript[𝒥, 1])(Subscript[△𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[S, 1]^(+))(p)⋁(Subscript[S, 2]^(+))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[s[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[R, (Subscript[𝒥, 1])∨(Subscript[𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[R, 1]^(+))(p)}})  (Subscript[R, 2]^(+))(q).}})

Manipulate[
ArrayPlot[Evaluate[Table[kappas[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}]],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[R, (Subscript[𝒥, 1])(Subscript[▽𝒥, 2])]^(+))(p,q)=(Subscript[R, 1]^(+))(p)▽ (Subscript[R, 2]^(+))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Evaluate[Table[rr[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}]],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

Ha a (Subscript[𝒥, 1]) és (Subscript[𝒥, 2]) játékok hosszú diszjunktív kompozícióját betli módon játsszuk, akkor az összegjátékot megadó függvényre nincs összefüggés. Tegyük fel, hogy mégis léteznek olyan ★ műveletek az (Subscript[ℕ, 0]) halmazon, hogy tetszőleges (Subscript[𝒥, 1]) és (Subscript[𝒥, 2]) játékokra

({{(Subscript[G, (Subscript[𝒥, 1])+(Subscript[𝒥, 2])]^(-))(p,q)=(Subscript[G, (Subscript[𝒥, 1])]^(-))(p)★ (Subscript[G, (Subscript[𝒥, 2])]^(-))(q)}})

minden p∈(Subscript[P, 1]), q∈(Subscript[P, 2]) esetén.

A 0,123 játékot egy kupac kaviccsal játszunk. A játék szabályai:

({{({{(Subscript[F, (Subscript[𝒥, 1])⊕(Subscript[𝒥, 2])]^(-))(p,q)=(Subscript[F, 1]^(-))(p)⊕(Subscript[F, 2]^(-))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[fm[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[#==0,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,2,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[R, (Subscript[𝒥, 1])∧(Subscript[𝒥, 2])]^(-))(p,q)=(Subscript[R, 1]^(-))(p)⋀(Subscript[R, 2]^(-))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[br[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==1,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[S, (Subscript[𝒥, 1])△ (Subscript[𝒥, 2])]^(-))(p,q)=(Subscript[S, 1]^(-))(p)⋁(Subscript[S, 2]^(-))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[bs[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==1,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

({{({{(Subscript[R, (Subscript[𝒥, 1])▽ (Subscript[𝒥, 2])]^(-))(p,q)=(Subscript[R, 1]^(-))(p)▼ (Subscript[R, 2]^(-))(q).}})}})

Manipulate[
ArrayPlot[Table[brr[{a,b,r}],{a,1,50,1},{b,1,50,1}],ColorFunction->(If[Mod[#,2]==1,Black,White]&),ColorFunctionScaling->False,Mesh->All,MeshStyle->Black],
{r,1,20,1},SaveDefinitions->True
]

A hosszú kompozíció esetén a hosszú diszjunktív kompozícióhoz hasonlóan önamgában egyik ismertetett függvény sem adja meg a betli játék nyerő stratégiáját.

({{({{(Subscript[M, (Subscript[𝒥, 1])∨(Subscript[𝒥, 2])]^(-))=(((Subscript[M, 1]^(+))∖(Subscript[N, 1]))×((Subscript[M, 2]^(+))∖(Subscript[N, 2]))⋃((Subscript[M, 1]^(-))×(Subscript[N, 2]))⋃((Subscript[N, 1])×(Subscript[M, 2]^(-))).}})}})

Köszönöm a figyelmet!